iiinova — where your digital self keeps evolving

La tens més a prop del que sembla. Gary Anderson, un estudiant de 23 anys, va dibuixar el símbol del reciclatge per al primer Dia de la Terra, el 1970: tres fletxes plegades que formen una banda de Möbius.

Símbol universal del reciclatge. Domini públic

000

Ara, les tisores. Si la talles pel mig, al llarg, en surt una sola tira, més llarga, amb dues voltes senceres i dues cares. Si la talles a un terç de l'amplada, en surten dues d'enllaçades, una de tan llarga com l'original i una altra del doble.

100

El nom ve d'August Ferdinand Möbius (1790–1868), professor d'astronomia a Leipzig. La va descriure el 1858, i Johann Benedict Listing hi havia arribat pel seu compte uns mesos abans. La tira també té una sola vora: resegueix-la amb el dit i passaràs pels dos cantells del paper.

August Ferdinand Möbius, gravat d'Adolf Neumann. Domini públic

100

La forma és molt més vella que el nom. En aquest mosaic romà de Sentinum, d'uns 1.800 anys, el déu Aion sosté la roda del zodíac. Resegueix-la: és una banda amb mitja volta, com la del primer post.

Mosaic d'Aion, Sentinum, c. 200–250. Gliptoteca de Munic. Domini públic

100

Agafa una tira de paper, dona-li mitja volta i enganxa'n els extrems. Si hi passes un llapis pel mig, tornaràs al punt de partida després d'haver pintat les dues «cares», sense aixecar-lo. Aquesta tira només en té una. És la banda de Möbius.

Mates en català @matescat.bsky.social · 18h

Les cobertes primes de naus i mercats són selles: pugen en una direcció i baixen en la perpendicular. Aquesta sella, un paraboloide hiperbòlic, es construeix amb rectes; amb prou rectes s'hi acosta tant com vulguis. La doble curvatura fa que un full fi aguanti.

021

Mates en català @matescat.bsky.social · 23h

En un grup de 17 persones, que dues comparteixin aniversari... A: Passa més del 25% de les vegades. B: Passa menys del 25%. No es tracta de trobar el TEU aniversari. Quina dius? La lletra als comentaris.

El duel: En un grup de 17 persones, que dues comparteixin aniversari... Opció A: Passa més del 25% de les vegades. Opció B: Passa menys del 25%.

220

Mates en català @matescat.bsky.social · 14/10/2026

Cada tros és la meitat del que quedava, o sigui que el buit es fa la meitat de petit a cada pas i mai desapareix del tot. Sumats tots, arriben exactament a l'àrea del quadrat: 1.

000

Mates en català @matescat.bsky.social · 14/10/2026

Un quadrat de costat 1. El partim per la meitat i en pintem una: 1/2. El que queda el tornem a partir i en pintem la meitat: 1/4. I així.

100

Mates en català @matescat.bsky.social · 14/10/2026

1/2 + 1/4 + 1/8 + ... sumen exactament 1: ni una mica més, ni una mica menys. La figura encaixa aquestes fraccions dins d'un quadrat i, al capdavall, no hi queda cap racó buit. Ressegueix el tros que s'hi afegeix a cada pas.

Demostració sense paraules: 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... omple el quadrat sencer: la suma és exactament 1.

152

Mates en català @matescat.bsky.social · 13/10/2026

Agafa un codi de barres qualsevol, el del iogurt mateix. Suma les xifres de les posicions senars i, a part, les de les parells multiplicades per tres: el total acaba en zero. L'enigma d'avui és per què no falla mai, sigui quin sigui el codi que tinguis a mà.

Targeta amb l'enunciat de l'enigma «El codi de barres que es defensa».

La solució pas a pas, capgirada a posta perquè no facis trampa.

Mates en català @matescat.bsky.social · 13/10/2026

Tres casos per grup i el gràfic sembla una revolució: una barra al cel i l'altra a terra. Amb seixanta per grup, els núvols de punts se solapen i la diferència desapareix. Abans de creure't una taxa extrema, mira la mida de la mostra.

Dos gràfics amb les mateixes dades: a l'esquerra la trampa, a la dreta la versió honesta.

030

Mates en català @matescat.bsky.social · 13/10/2026

Una manera fàcil d'entendre els diagrames de Venn

0152

Hi perd 50 euros. La primera avioneta li va costar 750 euros (en va perdre 150) i la segona 500 euros (en va guanyar 100). En total va invertir 1250 euros i en va ingressar 1200, per tant al final perd 50 euros.

Un home compra dues avionetes i després les ven per 600 € cadascuna. En una hi perd un 20 % del que li havia costat i en l'altra hi guanya un 20 % del que li havia costat. Al final, hi guanya, hi perd o queda igual? Quant?

152

Un 2 entre sis uns: els set primers termes són 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1. Fixa't que apareix exactament al cinquè lloc, i que la resta són uns; aquí la posició pesa més que el valor. Quin terme ve després? La resposta és a la segona imatge. Escriu la teva resposta als comentaris.

Targeta amb els primers termes d'una successió (A007318, OEIS, CC BY-SA).

La resposta i el nom de la successió, capgirats a posta.

Xavier, amb dos únics usuaris (0 i 1) la mediana fa trampes per força. Posa-n'hi cinc, com a l'exemple de l'empresa: amb un sou de 10.000 € la mitjana es disponta i s'inventa una realitat, però la mediana ni s'immuta. El pollastre te'l regalo, però els extrems segueixen sense moure la mediana!

Quan la mitjana i la mediana s'allunyen, és la pista que uns quants valors extrems estiren cap a un costat. Mirar-les totes dues diu més que qualsevol de les dues sola.

Amb un nombre parell de valors no hi ha cap valor al mig. La mediana és la mitjana dels dos centrals: de 2, 4, 6 i 8, els centrals són 4 i 6, i la mediana és 5.

Si el sou alt passa de 10.000 a 100.000, la mediana es queda a 1.200. La mitjana es dispara. La mediana només mira l'ordre, no les distàncies, i per això els extrems no la mouen.

La mitjana de 2.920 no la cobra ningú. Quatre de cada cinc persones cobren molt menys. La mediana, en canvi, és un sou que existeix de veritat a la llista.

Cinc sous en una recta: quatre junts prop dels 1.000 euros i un a 10.000. La mediana queda a 1.200 i la mitjana a 2.920.

100

Ordena els valors i queda't el del mig. Amb cinc sous, el tercer és 1.200: dos queden per sota i dos per sobre. Això és la mediana.

100

Cinc sous en una empresa: 1.000, 1.100, 1.200, 1.300 i 10.000 euros. La mitjana surt 2.920 euros. La mediana, en canvi, és 1.200. Quina descriu millor la plantilla?

La mediana. Ordena els valors i queda't el del mig: la meitat queden per sota i la meitat per sobre. Els extrems no la mouen. Exemple: Sous: 1.000, 1.100, 1.200, 1.300 i 10.000. Mitjana: 2.920. Mediana: 1.200. Quina descriu millor aquesta empresa?

2101

Un dron vola quiet entre dos edificis de 60 m i 100 m, separats 40√3 m. Des del dron, el terrat del primer es veu 60° per sota de l'horitzontal, i el del segon, 30°. A quina altura vola?

Dibuix a mà sobre paper quadriculat. Dos edificis, un de 60 m a l'esquerra i un de 100 m a la dreta, separats 40√3 m. Entre tots dos, més amunt, un dron. Una línia horitzontal discontínua passa pel dron; des d'allà, una visual baixa fins al terrat de l'edifici de 60 m fent 60° amb l'horitzontal, i una altra fins al de 100 m fent 30°. Una fletxa vertical, h, va del dron al terra. A sota: h = ?

Exercici resolt, amb explicació en veu: el valor numèric d'una expressió amb negatius al cub. El cub d'un nombre negatiu continua sent negatiu, i el signe que porta al davant pot capgirar-ho tot: restar un negatiu és sumar. Prova'l tu abans de mirar com es resol.

000

L'any 628, l'astrònom indi Brahmagupta va escriure regles per operar amb el zero com amb un nombre més: un nombre per zero fa zero, i 0 entre 0, deia, fa 0. Avui dividir per zero no està definit: 6 entre 0 demanaria un nombre que per 0 fes 6, i no n'hi ha cap.

El manuscrit de Bakhshali, un manual d'aritmètica en escorça de bedoll trobat el 1881, marca el zero amb un punt (encerclat). El 2017, Oxford en va datar un full entre el 224 i el 383, molt abans de Gwalior. El 2024 ho va corregir: entre el 799 i el 1102, l'època de Gwalior.

A Amèrica, el zero va néixer pel seu compte. El calendari mesoamericà del compte llarg el feia servir per marcar posicions, i la data més antiga que se'n coneix és del 36 aC. Al Còdex de Dresden, maia, els zeros són els signes vermells allargats.

Còdex de Dresden, fragment de la pàgina 43b. Domini públic

A Babilònia, fa uns 3.500 anys, ja es comptava per posicions en base 60: cada lloc valia 60 vegades el de la dreta. Un lloc buit era un espai. Més tard hi van posar un signe, però mai al final, i per això 1 i 60 s'escrivien igual. Aquell signe no es feia servir mai sol.

Aquell cercle és un zero que guarda el lloc. En el 205, el 2 val dues centenes perquè el 0 diu que no hi ha cap desena. Sense el zero queda 25, un altre nombre. És el que fa funcionar el sistema de posicions: cada xifra val segons el lloc on és.

Bestioles @bestioles.bsky.social · 10/10/2026

En un temple excavat a la roca a Gwalior, a l'Índia, una inscripció del segle IX parla d'un jardí de 187 per 270 hastes (una mesura de peu i mig) que donava 50 garlandes al dia. El 270 i el 50 acaben amb un cercle: un dels zeros gravats en pedra més antics que es coneixen.

Els zeros de la inscripció de Gwalior (50 i 270), dibuix de David Eugene Smith. Domini públic

1154

Reposted by Mates en català

El bruel, un dels ocells més petits d'Europa amb 9 cm, va amunt i avall per les branques picant petits artròpodes. A l'hivern s'escampa encara més i fins i tot ocupa els jardins. Foto: Alexis Lours (CC BY 4.0) #birds

071

per cert, forma part de les proves Cangur l'exercici

avui hem estat currant en nous exercicis... alguns en vídeo fets a "mà". anirem posant el focus en els que veiem que agraden més. gràcies!

Tres nombres negatius, tres potències i un signe que canvia a l'última línia Calcula 3a²y³ − 5b²x − 2c³ per a a = −4, b = −3, c = −1, x = 4, y = 1

001

Tres cases del meu carrer tenen els números abc, bc i c, on cada lletra és una xifra (cap no és 0). Sumen 912. Quina xifra és b?

351

Dues figures resumeixen la FFT de radix 2. Mira la primera: desplega l'arbre de crides recursives etapa per etapa. La segona dona la intuïció de la permutació de reversió de bits, que reordena els índexs invertint-ne els bits.

Figura matemàtica: Anàlisi de l'algorisme FFT. Font: TikZ.net, CC BY-SA 4.0.

Quan hi ha uns quants valors molt alts, la mitjana queda per sobre del que és habitual. Per això el sou mitjà acostuma a ser més alt del que cobra la majoria. La mitjana et diu on es faria l'equilibri, no on és la gent.

Els valors 3, 5 i 10 com a pesos sobre una regla, que s'equilibra sobre un suport col·locat al 6.

030

Com que cada valor estira segons la distància, un de sol molt allunyat mou la mitjana moltíssim. Afegeix un 100 a la llista i la mitjana salta del 6 al 29,5. Un únic valor ha arrossegat el centre cap amunt.

Cap dels valors de la llista és un 6. La mitjana no ha de coincidir amb cap dada: és un punt de referència que pot no existir enlloc. Una mitjana d'1,3 fills per família és correcta encara que cap família tingui 1,3 fills.

La mitjana és el centre de gravetat de les dades: cada valor estira del seu costat segons com de lluny és del centre. Per això el 10, que és el més allunyat, és el que més estira. I per això la mitjana cau entre el 3 i el 10, no a sobre de cap dels tres.

Imagina una regla amb tres pesos: un al 3, un al 5 i un al 10. Si la subjectes per un punt i es manté plana, aquest punt és la mitjana. Amb aquests tres valors, s'equilibra exactament al 6.

La mitjana. Suma-ho tot i divideix pel nombre de valors. És el centre de gravetat de les dades: cada valor hi estira segons la mida. Exemple: 3, 5 i 10: mitjana 6. Cap dels tres valors és un 6: el centre pot no existir.

184

L'àrea del cor és exactament 2,7π ≈ 8,48, la d'una el·lipse de semieixos √3 i 0,9·√3. La punxa només puja o baixa cada franja vertical sense canviar-ne l'alçada, i pel principi de Cavalieri l'àrea es conserva.

Com que sin(kx) mai passa d'1, la corba no surt de la banda ∛(x²) ± 0,9·√(3 − x²), i la banda és el cor: els lòbuls arriben a 2,27 prop de x = ±1,03, i la punta de baix és a −0,9·√3 ≈ −1,56. La clotada de dalt la fa la punxa de l'origen.

Una sola fórmula que dibuixa un cor: y = ∛(x²) + 0,9·sin(kx)·√(3 − x²). L'ona sin(kx) queda tancada en una banda al voltant de la punxa ∛(x²), i com més gran és k, més l'omple. A k = 100 creua el mig 111 vegades.

1172

Les dues corbes pugen juntes: el mite diu que una causa l'altra. El que veus és que coincideixen, no que una empenyi la segona: pot ser que totes dues responguin a una tercera cosa que no és a la gràfica.

Targeta. El mite: «Les dues corbes pugen juntes: l'una causa l'altra». La realitat: Correlació no és causalitat: dues coses poden pujar juntes per una tercera causa comuna (o per pur atzar, si busques prou parelles de corbes).

000