Edellisessä artikkelissani ”Voitto viidellä erävoitolla eli paras yhdeksästä” tutkin otteluvoittoni todennäköisyyttä, jos voitan erän todennäköisyydellä p. Tässä tutkin ottelun erien lukumäärän odotusarvoa. Jos erävoittoni todennäköisyys on p ja pelataan n:ään voittoon saakka, niin ottelun voiton todennäköisyys on Kun i saa arvon 0, niin se tarkoittaa voittoani 5-0 eli pelataan viisi erää, kun i = 1 lopputulos on 5-1 eli pelataan kuusi erää, jne.

Muutama viikko sitten kirjoitin ”Voitto kahden erolla” -artikkelin, jossa pohdin millä todennäköisyydellä voitan pelin, jos voittoon tarvitaan kahden erävoiton ero ja minä voitan erän todennäköisyydellä p. Tarkastellaan nyt ottelua, missä voittoon tarvitaan tasan 5 erävoittoa eli paras yhdeksästä. Nyt siis pelataan eriä, vaikkapa snookeria tai backgammonia, kunnes toinen pelaajista voittaa 5 erää. Minä voitan erän todennäköisyydellä p ja vastustajani todennäköisyydellä q = 1 - p.

Päivittelen tätä sivua pikkuhiljaa vuoden myötä, sitä mukaa kun kirjoja tulee luetuksi. Laitan tämän artikkelin blogin noin puolivuosittain. Tein WordPressin tekoälyllä artikkeliin sopivan kuvan. A…

Edellisellä kerralla tammikuussa versionumero oli 911. Katsotaan lukuvuoden alussa, miten GeoGebra-ohjelmistoversiota on korjailtu ja mitä uutta on tullut. GeoGebra-versiot päivittyvät lähes samanaikaisesti, usein GeoGebra 5 ensin. Testasin ohjelmia vain Macilläni. Uskoisin, että Windowsissa ohjelmat toimivat samalla tavoin. Lisään korjausvirkkeen loppuun hakasulkeisiin tarkasteltavan komennon englanninkielisen version. Tärkeimmät uudistukset näissä ovat mielestäni Classic 6:n Suiten taulukkolaskennan kehittyminen toimivammaksi ja Asetukset ikkunoihin tulleet muutokset.

Pelaat peliä vastustajan kanssa, vaikkapa kivi-paperi-sakset, shakki tai backgammon tms. Ottelun voittaa, kun voittaa kaksi peliä peräkkäin. Millä todennäköisyydellä voitat, jos sinulla yksittäisen pelin voittotodennäköisyys on p? Tämä on kiva harjoitus todennäköisyyslaskennasta ja geometrisesta jonosta. Tämän ongelman voi ratkaista monellakin tapaa. Kun tekoälyiltä kysyy, niin usein niiden ratkaisut perustuvat Markovin ketjuihin. Minulle selkeämpää on pohdiskella sitä, millä todennäköisyydellä voitan toisessa, kolmannessa, … pelissä.

Tytöt menestyvät keskimäärin poikia paremmin ylioppilaskokeessa. Muutamassa harvassa aineessa pojilla on parempi keskiarvo kuin tytöillä. Onko syy koulussa, pojissa, kännyköissä, wokessa, pelaamisessa, opetussuunnitelmassa, opettajissa, yhteiskunnassa, vanhemmuudessa, tähtien asennossa vai missä? Tai sitten tytöt vaan ovat parempia. En tiedä. Silti jotain tarttis varmaan tehdä. Käsittelen tässä syksyn ja kevään eli koko lukuvuoden ylioppilaiden tuloksia. Olen laskeskellut ylioppilaskokelaiden arvosanajakaumia vuoden 2022 keväästä alkaen.

Viime joulukuussa tein ensimmäisen artikkelin tästä aiheesta. Jatkan samalla teemalla lukuvuoden 25-26 ylioppilaiden tulosten tarkastelua. YTL jakaa tiedot kunkin kirjoituskerran tuottamista yliopp…

Viime artikkelissani kerroin Villiersin tuulilasinpyyhkimet -lauseesta. Tämä geometrinen totuus on saman tyyppinen. Kun tämän Conwayn ympyrälauseen piirtää GeoGebralla, niin kannattaa käyttää harppi-työkalua. Esitän tässä, miten toteutin oman versioni GeoGebra 6:lla. Ensin loin kolmion ABC, sivut saivat nimet a, b ja c, kuten kuvassa.  Piirsin suoran AB ja jatkoin janaa c pisteestä A vastakkaisen sivun a pituuden verran. Valitsin harppi-työkalun ja klikkasin janan a päätepisteisiin.

Taivaanmekaniikan Kahden kappaleen ongelmassa, kappaleiden nopeusvektorit piirtävät ympyrän (vx, vy)-koordinaatistossa, kirjoitin aiheesta edellisessä artikkelissani. Jonkun aikaa asiaa aihetta poh…

Luin jokin aika sitten John Cookin blogartikkelin ”Visualizing orbital velocity”. Opin, että kaksoistähtisysteemissä planeettojen nopeusvektoteiden kuvaajat ovat ympyröitä. Pakkohan tätä on testata. Loin Googlen Colabin ja Geminin avulla ohjelman, joka tuottaa kaksoistähtisysteemin kappaleiden radat, kappaleiden nopeuksien x- ja y-komponenttien kuvaajat ajan funktiona ja vxvy -kuvaajan. Pyysin Geminiä käyttämään laskennossa Newtonin gravitaatiolakia. Käytin aluksi Maan ja Kuun massoja, joten simuloinnissa kappaleen 1 massa on Maan massa.

Jokin aikaa sitten kirjoitin artikkelin ”Melkein Pythagoraan lause”. Pythagoraan lauseen kuva jäi vaivaamaan mieltäni ja päätinpä tuottaa kolmion sivujen neliöt mielivaltaiselle kolmiolle ja jatkaa kuviota GeoGebran avulla. Seuraavassa joitain totuuksia, joita löysin.  Ongelma. Todista Lauseet 1 - 7. Luodaan kolmio ABC, sen pinta-ala on t1. Luodaan kolmion sivuille nelikulmiot ABED, CBFG ja ACHI. Niiden pinta-alat ovat poly1, poly2 ja poly3.

Last week I taught the course ”GeoGebra and Python for STEM and STEAM Teachers” at the new Europass Helsinki facilities on the Töölönlahti campus. I hope my students learnt some new things about GeoGebra and math scripting with Python. At least I learnt many things. My new Slovakian teacher friends. It was an honor to ceremonially open the new classroom ”

Päivittelen tätä sivua pikkuhiljaa vuoden myötä, sitä mukaa kun kirjoja tulee luetuksi. Laitan tämän artikkelin blogin noin puolivuosittain. Tein WordPressin tekoälyllä artikkeliin sopivan kuvan. An old bald man with classes and beard reading a scifi book by a Finnish lake in winter, alien rocket in the night sky, two moons. Katsuhiro Otomo. Akira. The Beginning. Scifi sarjakuvaromaani. Pitkän tarinan ensimmäinen osa.

Vuonna 2014 Studentlitteraturin julkaiseman kirjan oikeudet palasivat Jonas Hallille ja Thomas Lingefjärdille. Kirjailijat ovat päättäneet julkaista kirjan ilmaiseksi pdf:nä. Kiitos Jonas ja Thomas. Pdf-versio löytyy täältä GeoGebrahandboken on suunnattu ruotsalaisille lukion matematiikan opiskelijoille ja opettajille. Kirjassa on runsaasti esimerkkejä, jotka on ratkaistu GeoGebran, WolframAlphan tai Pythonin avustuksella. Kuvassa Jonas ja Thomas luovuttavat kirjan englanninkielisen version Markus Hohenwarterille Trondheimissa 2016.

Edellisessä artikkelissani esitin ongelman liittyen kolmioiden sivujen pituuksiin. Ongelmassa piti löytää yhteyksiä taulukon kokonaislukupituuksien ja kolmion ominaisuuksien kanssa. Seuraa varoitus, alla oleva paljastaa ratkaisun ongelmaan. Seuraavat ongelmat ratkennevat tekoälyn avulla, niinpä älä käytä tekoälyä ratkaisuissasi. Lause 1. Olkoon ABC sellainen kolmio, että A:n vastainen sivun pituus on a, B:n b ja C:n c. Olkoon kulma CAB kaksinkertainen verrattuna kulmaan ABC. Tällöin…

Löysin Internetistä mielenkiintoisen matemaattisen totuuden liittyen kolmioihin. Koska nykypäivänä tekoäly ratkoo ongelmia melkoisen mallikkaasti, niin muokkasin ongelmaa hieman erilaiseksi. Tulevaisuudessa palaan varsinaiseen kauniiseen kolmiolauseeseen, joka liittyy oheisiin lukuihin, mutta pohditaan ensin aiheeseen liittyvää hieman erilaista ongelmaa. Oheisessa taulukossa on kolmion sivujen pituuksia a, b, c. a b c

GeoGebran taulukkolaskennassa on ollut aika pitkään Luo operaatiotaulu-toiminto. Tutkitaan mitä sillä voi tehdä. Kirjoitin muutama vuosi sitten artikkelin ”Kertotaulu tai yhteenlaskulaskutaulu taulukkolaskennalla”. Enpä silloin ymmärtänyt, että GeoGebrassa on oma toiminto tällaisia tehtäviä varten.

Pohjoismaiden ja Baltian GeoGebra verkosto järjestää 13. konferenssin Bridging Mathematics and Technology for Deeper Learning Riikassa ja Jelgavassa 13.3. - 15.3.2026. Pääesiintyjät: Evija Mirķe, tutkija Riikan yliopisto (Latvia), Rikke Teglskov, matematiikan opetuksen sekatyöläinen (Tanska) ja Tanja Wassermair, GeoGebra kehitysjohtaja (Itävalta). Osallistujat ovat tervetulleita pitämään esityksiä. 15 min lyhytluento, tai 40 min/ 80 min työpaja. Katso lisää tietoa konferenssin sivuilta. Pohjoismaiden ja Baltian GeoGebra -verkosto (NGGN) on järjestänyt konferensseja vuodesta 2010.

Edellisellä kerralla syyskuussa GeoGebran versionumero oli 898. Katsotaan nyt vuoden alussa, miten GeoGebra-ohjelmistoversiota on korjailtu ja mitä uutta on tullut. GeoGebra-versiot päivittyvät läh…

Vuosi vaihtui ja saimme uuden vuosiluvun. Tutkitaan joitakin lukuun 2026 liittyviä kummallisuuksia tai itsestäänselvyyksiä. Keskityn tässä lukuun 1/2026 jaksollisena desimaalilukuna ja yhtälöiden x…

Päivittelen tätä sivua pikkuhiljaa vuoden myötä, sitä mukaa kun kirjoja tulee luetuksi. Laitan tämän artikkelin blogin alkuun aina kun saan kirjan luettua. Tämän vuoden tarinaksi valikoituu Neal St…

Python sisältää on runsaasti erilaisia moduuleja. Tässä tutkailen millaisia matemaattisia kirjastoja on Abitti 2:n Abicodessa. Esitän esimerkkien avulla joitakin math, random, statistics, decimal ja fractions moduulien funktioita. Valitsen esimerkkeihin sellaisia funktioita, joista voisi teoriassa olla lukiolaisille apua pitkän tai lyhyen matikan opinnoissa ja ylioppilaskirjoituksissa. Tarinan lopun lähteissä on linkki tiedostoon, jossa on Googlen Colabissa samat esimerkit ja pikkuisen jotain muuta aiheeseen liittyvää.

Tällä viikolla ilmestyneessä xkcd:ssä käsitellään taivaankappaleen sädettä, jotta sammakko hypätessään ei putoaisi takaisin kappaleen pinnalle.  Tutkitaan asiaa hieman tarkemmin. Tässä Randall…

Olen viime aikoina tutkiskellut Ylioppilaslautakunnan julkaisemia tilastoja ylioppilaista.  Teinpä sitten pienen koodin, jonka avulla voi laittaa lukioita "paremmuusjärjestykseen". Laitan sanan ”paras” lainausmerkkeihin, sillä tarkoitan tässä tarinassa järjestystä, joka on mitattu puoltoäänien keskiarvon mukaan. Minun mielestäni kouluja oikeasti ei voi laittaa paremmuusjärjestykseen, kaikki Suomen lukiot niiden opettajat ovat hyviä. Se millaisia opiskelijoita oppilasvalinta tuottaa kullekin lukiolle on eri juttu. YTL jakaa tiedot kunkin kirjoituskerran tuottamista ylioppilaista.

Edellisessä artikkelissani tutkin tämän vuoden ylippilaiden tuloksia ja vertailin tyttöjä ja poikia. Tässä katsellaan eroa pidemmältä aikaväliltä. Lisäsin viime vuoden Python koodiini tämän syksyn kokeet ja tulostin aikasarjojen kuvaajia viime vuosien ylioppilaiden tuloksista. puoltoäänet Syksyisin puoltoäänien summan keskiarvo on ollut pienempi kuin keväiden kokeissa. Toki ero on pienentynyt pikku hiljaa. Tästä saisi kivan tehtävän oppilaille. Jos kevään ja syksyn kokeisiin sovitetaan suorat, niin milloin ne leikkaavat?

Tytöt menestyvät poikia keskimäärin paremmin ylioppilaskokeessa. Muutamassa harvassa aineessa pojilla on parempi keskiarvo kuin tytöillä. Onko syy koulussa, pojissa, kännyköissä, wokessa, pelaamise…

Tässä on syksyn 2025 ylioppilaiden arvosanojen korrelaatiomatriisi. Tämänkin syksyn ylioppilaiden kirjoitetuissa aineissa näkyy se, että menestyminen ylioppilaskirjoituksissa  vaikuttaisi korreloivan enimmäkseen reaaliaineiden kanssa. Tämän kevyen tutkimuksen valossa biologiassa menestyminen näyttäisi ennustavan menestymistä muissa aineissa. Käytän tässä aineistona Ylioppilaslautakunnan sivulta Oppilaitoskohtaisia tunnuslukuja löytyvää tiedostoa tiedostossa on kaikkien ylioppilaiden tulokset ja se ei päivity, eli mahdolliset korjaukset tuloksiin eivät näy tässä tiedostossa.

Edellisessä tarinassani pohdin, millä todennäköisyydellä kahdella satunnaisesti valitulla luvulla ei ole yhteisiä tekijöitä. Tässä tutkiskelen kuvaajissa näkyviä hahmoja. Kun katsoo edellisen artik…

Laskeskelin GeoGebran avustuksella laskuja murtoluvuilla. Välillä GeoGebra supisti murtolukuni ja välillä ei. Aloinpa pohdiskella kuinka yleistä on, että satunnainen murtoluku sievenee tai ei sievene yksinkertaisemmaksi. Tein pienen animaation, jossa a:lla on arvo 24 ja b saa arvot 1, …, 50. Toisinaan murtoluku supistuu, toisinaan taas ei. Murtoluku a/b:n voidaan supistaa, jos luvuilla a ja b on yhteisiä tekijöitä. Jos murtolukua a/b ei voi supistaa, niin silloin a:lla ja b:llä ei ole yhteisiä tekijöitä ja tällöin niiden suurin yhteinen tekijä on 1.

Kävin pari viikkoa sitten seuramatkalla Japanissa, Kiotossa ja Tokiossa. Siellä on paljon nähtävää. Yksi Tokion maamerkeistä on korkea näköalatorni Skytree. Kerronpa hieman kokemuksestani tornissa. Skytree Sensō-ji -temppelin läheisyydestä Päätin vierailustani tornilla saman päivän aamuna, niinpä en ostanut ennakkoon lippua. Olin tornin juurella noin kello 15.20. Lipunmyynti ja sisäänkäynti ylös löytyi neljännestä kerroksesta, vastakkaiselta puolelta katutason sisäänkäyntiä. Kun astuin ovista sisään, niin vasemmalla oli jono seuraaviin lähtöihin lipunhaltijoille.

Testailen Collabora-ohjelmiston taulukkolaskentaa. Se on lähes yksi yhteen kopio Libreofficen vastaavasta. Collabora-ohjelmisto on ylioppilastutkinto-ohjelmistossa Abitti 2 syksystä 2026 alkaen. Jokin aika sitten opin nopean tavan kopioida kaavoja kahvan avulla, alla esimerkki Collaboralla.. Tämä on varmaankin tuttu asia monelle Excel-nörtille, minä opin tämän vasta nyt vaikka olen käyttänyt Exceliä versionumerosta 4.0 lähtien. Teenpä itselleni ongelmaksi piirtää xy-kuvaaja 50 ensimmäisestä Fibonacciluvusta. Bonuksena sovitan eksponettifunktion pisteisiin (tulee harjoitusta Collaboran kuvaajan piirrosta).

#geometry #MathSky #mathematics #geogebra

#pahkasika #huumori

Edellisellä kerralla elokuussa GeoGebran versionumero oli 851. Katsotaan nyt lukukauden lopussa, miten GeoGebra-ohjelmistoversiota on korjailtu ja mitä uutta on tullut. GeoGebra-versiot päivittyvät lähes samanaikaisesti, usein GeoGebra 5 ensin. Tätä kirjoitettaessa uusimmat Classic 5, 6 sekä verkkoversiot joita kokeilin, olivat versionumeroiltaan 869. Testasin ohjelmia vain Macilläni. Uskoisin, että Windowsissa ohjelmat toimivat samalla tavoin.

Artikkelissa esitellään todistukset neljälle lauseelle, jotka koskevat kolmion sisään ja ulkopuolelle piirrettyjen monikulmioiden alueita. Käytetään GeoGebra-ohjelmaa laskentatyökaluna. Erityistapa…

Yritin keksiä todistusta Marionin lauseeseen (Marion’s Theorem). Kun piirsin kuviota GeoGebralla, tein virheen tuottaessani kuusikulmiota kolmion sisään. Löysin uusia totuuksia liittyen kolmion sisään piirrettyihin kuusikulmioihin. Kolmiossa ABC pisteet D ja E jakavat janan AB suhteessa 1:1:1 eli janojen AD ja BE pituudet ovat ⅓ janan AB pituudesta. Vastaavasti F ja G jakavat janan BC suhteessa 1:1:1 ja janat H ja I jakavat janan CA suhteessa 1:1:1.

Vihdoin helteet alkavat helpottaa. Täällä mökillä Karkkilassa on saatu jo pari kunnollista sadettakin. Pitääpä niiden kunniaksi tehdä katon alaan liittyvä ongelma. Tämä sopinee syksyn aloituspähkinäksi ysiluokkalaisille tai lukiolaisille. Ongelma. Katon lappeelle tuleva vesi kertyy räystään kautta ämpäriin, jonka tilavuus on 30,0 l. Jätin terassille toisen ämpärin, jonka yläosa on ympyrän muotoinen, halkaisija 25 cm. Sateen aikana räystään alla oleva ämpäri täyttyi 35 minuutissa.

Tämän kevään pitkän matikan ylioppilaskoetehtävässä 11 pohdittiin kuinka monta nollaa on suuressa luvussa 2000! - 10300. Tässä pohdiskelen, miten selvittää Abittissa olevien ohjelmien avulla, kuinka monta nollaa on luvun 2000! lopussa. Ensin pitäisi saada aikaiseksi 2000! desimaalilukuna. Geogebra 6:n CAS antaa yhden ratkaisun. Texas Nspire ja Casio Classpad eivät tuottaneet noin suurta lukua numeroina, ainakaan minun taidoillani. Luvun saa laskettua myös Pythonilla, palaan siihen hetken kuluttua.

Päivittelen tätä sivua pikkuhiljaa vuoden myötä, sitä mukaa kun kirjoja tulee luetuksi. Laitan tämän artikkelin blogin alkuun noin puolivuosittain. Tein WordPressin tekoälyllä artikkeliin sopivan k…

Lisäsin viime vuoden Python koodiini tämän kevään kokeet ja tulostin aikasarjojen kuvaajia viime lukuvuosien ylioppilaiden tuloksista. Näissä kuvaajissa vaaka-akselin vuosi tarkoittaa lukuvuoden alkamisvuotta. Esimerkisi 2024 tarkoittaa syksyn 2024 ja kevään 2025 ylioppilaita. puoltoäänet Syksyisin puoltoäänien summan keskiarvo on ollut pienempi kuin keväiden kokeissa. Toki ero on pienentynyt pikku hiljaa. Tästä saisi kivan tehtävän oppilaille. Jos kevään ja syksyn kokeisiin sovitetaan suorat, niin milloin ne leikkaavat?

Olen piirrellyt ylioppilaskokeiden tyttöjen ja poikien arvosanajakaumia vuoden 2022 keväästä alkaen. Linkit edellisiin aiheen artikkeleihin ja tässä tarinassa käytettyyn Python lähdekoodiin löytyvät artikkelin lopusta. Siellä on myös taulukko oppiainekoodeista.  Tänä vuonna tytöillä oli tilastollisesti erittäin merkitsevästi (p < 0.001) paremmat keskiarvot verrattuna poikiin seuraavissa aineissa (suluissa erotus): terveystieto (0,92), äidinkieli ruotsi (0,88), elämänkatsomustieto (0,82), äidinkieli suomi (0,72), psykologia (0,61), suomi pitkä oppimäärä (0,50) , evankelis-luterilainen uskonto (0,38), maantiede (0,35), yhteiskuntaoppi (0,32), historia (0,32), biologia (0,20) ja ruotsi keskipitkä oppimäärä (0,15).

Tässä on kevään 2025 ylioppilaiden aineiden arvosanojen korrelaatiomatriisi. Tämänkin kevään ylioppilaiden kirjoitetuissa aineissa näkyy se, että menestyminen ylioppilaskirjoituksissa  vaikuttaisi korreloivan enimmäkseen reaaliaineiden kanssa.  Käytän tässä aineistona Ylioppilaslautakunnan sivulta Oppilaitoskohtaisia tunnuslukuja löytyvää tiedostoa tiedostossa on kaikkien ylioppilaiden tulokset ja se ei päivity, eli mahdolliset korjaukset tuloksiin eivät näy tässä tiedostossa. korrelaatiomatriisi Keväällä 25  ylioppilaita valmistui 25486 kappaletta, heistä tyttöjä 14425 ja poikia 11061, onnittelut heille.

Last week I  held the course at the Finnish Europass premises on Annankatu. I had five marvelous teacher students from Slovenia and Italy. The course went well and based on the feedback, the participants also learned something new about GeoGebra and Python. I learnt a lot. During the week, we became familiar with the Finnish school system, GeoGebra, and the Python programming language.

Eiväthän nämä oikeasti ole nelikulmioita tai suorakaiteita. Paitsi jos sovitaan, että ympyrän kaari voi olla neliön sivu. Kuvan ”suorakaiteissa” on kaksi janaa ja kaksi ympyrän kaarta. Ympyränkaare…

Kuulin alun perin tämän tehtävän virolaiselta ystävältäni Hannes Jukkilta. Hänen ongelmansa liittyi Tallinnassa sijaitsevaan Väike-Öismäe Tiik nimiseen lampeen ja sitä kiertäviin ympyrän muoto…

Kun desimaaliluvun muuttaa binääriluvuksi, niin usein binääriluvun esitykseksi tulee päättymätön ”desimaaliluku”. Esimerkiksi kahdeksan kymmenesosaa on desimaalilukuna 0,8 ja binäärilukuna 0.110011001100... Tämän vuoksi liukuluvuilla laskettaessa tulee väkisinkin pyöritysvirhettä. Python ohjelmointikieli laskee liukuluvut 55 bitin tarkkuudella. Niinpä luku o.8 on binäärilukuna 0.1100110011001100110011001100110011001100110011001101. Kun tämän luvun muuntaa takaisin 10-järjestelmän luvuksi, niin saadaan 0.80000000000000004440892098500626161694526672363281. Kun Pythonissa tulostaa luvun print-funktiolla, niin se oletuksena katkaisee 16 desimaalin tarkkuuteen, koneen muistissa luku kuitenkin on 55-bittisenä binäärilukuna.

Päivittelen tätä sivua pikkuhiljaa vuoden myötä, sitä mukaa kun kirjoja tulee luetuksi. Laitan tämän artikkelin blogin alkuun noin puolivuosittain. Tein WordPressin tekoälyllä artikkeliin sopivan kuvan. An old bald man with classes and beard reading a scifi book by a Finnish lake, rocket in the night sky, two moons. Martha Wells. Oikullinen protokolla. Murhabotin päiväkirjat 3. Karannut SecUnit robotti jatkaa pakoaan ja tutkii suuryhtiön tekemiä rikoksia.

Tämä löytyi ystäväni Timin X-tweetistä. Toki tämä ongelma on keksitty ja ratkaistu jo 1600-luvulla. Minulle tämä oli uusi juttu. Ongelma 1. Olkoon ABC kolmio. Piirretään kullekin sivulle tasasivuiset kolmiot ABD, BCE ja CAF. Tällöin janat AE, BF ja CD leikkaavat samassa pisteessä. Todista. Lause toimii, vaikka piste olisi kolmion ulkopuolella, toki silloin lauseen janat pitää korvata suorilla. Ongelma 2. Todista, että janojen AE, BF ja CD välinen kulma on 120°.

Tutkitaan vanhaa pinta-aloihin liittyvää ongelmaa. Se löytyy Isosta Kirjasta. Olen julkaissut vastaavan tarinan Hyllin vanhoilla veppisivuilla joskus 2011 tai aiemmin. Kahden ensimmäisen ongelman todistaminen on suhteellisen helppoa. Jäljennän alle GeoGebralla kuvan, joka löytyy englanninkielisestä Newtonin Principiasta. Book I. Section I. To find centripetal forces. Proposition I, Theorem I. Ongelma 1. Olkoot A, B ja S eri pisteitä. Valitaan suoralta AB piste c siten, että janan pituus Bc = AB.

Edellisessä artikkelissani pohdiskelin ongelmaa, joka oli versio alkuperäisestä Regiomontanuksen tauluongelmasta vuoden 1471. Alkuperäinen ongelma on tasogeometrian ongelma. Tosimaailmassa taulut asustavat kolmiulotteisessa maailmassa. Miten ongelma muuttuu?